0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Объем призмы и другие ее характеристики

Содержание

Определение призмы:

Призма – это многогранник, две грани которого (основания) – равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а боковые грани – параллелограммы.

Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.

Виды призм:

Параллелепипед — это призма, основанием которой является параллелограмм.

Прямая призма – это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Другие призмы называются наклонными.

Правильная призма – это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы – равные прямоугольники.

Объем призмы

Главная формула объема призмы:
( displaystyle V=S<< >_<основания>>cdot text),
где ( <>_<основания>>) – площадь основания,
( H) – высота.

Необычная формула объема призмы:
( text=<>_>cdot l),
где ( <>_>) – площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,
( l) – длина бокового ребра.

Площадь призмы

А теперь чуть подробнее…

Заходите и готовьтесь к ЕГЭ.

Что такое призма

Давай ответим сперва картинками:

Смотри: у призмы сверху и снизу два одинаковых многоугольника – они называются основаниями.

Остальные грани называются боковыми.

Плоскости оснований параллельный. Боковые грани – параллелограммы.

Смотри: бывают рёбра основания и боковые рёбра.

Важно знать, что:

Все боковые рёбра призмы равны и параллельны.

  • Если в основании призмы лежит треугольник, то призма называется треугольной, если четырёхугольник, то четырёхугольной и т.д.;
  • Бывают и десятиугольные, и двадцатиугольные призмы, но, к счастью, не в твоих задачах;
  • А тебе будут встречаться чаще всего треугольные, четырёхугольные и шестиугольные призмы.

Думаю, теперь мы можем дать более строгое определение призмы.

Определение призмы

Призма — многогранник, две грани которого (основания) — равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а боковые грани — параллелограммы.

Виды призм

Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.

Прямая призма – это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания.

Другие призмы называются наклонными.

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Высота призмы

Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.

И ясно, что та же самая высота получится, если опустить перпендикуляр из любой точки на верхней плоскости.

Как выглядит призма

Правильной четырёхугольной призмой называется шестигранник, в основаниях которого находятся 2 квадрата, а боковые грани представлены прямоугольниками. Иное название для этой геометрической фигуры — прямой параллелепипед.

Рисунок, на котором изображена четырёхугольная призма, показан ниже.

На картинке также можно увидеть важнейшие элементы, из которых состоит геометрическое тело. К ним принято относить:

  1. Основы призмы — квадраты LMNO и L₁M₁N₁O₁.
  2. Боковые грани — прямоугольники MM₁L₁L, LL₁O₁O, NN₁O₁O и MM₁N₁N, расположенные под прямым углом к основаниям.
  3. Боковые рёбра — отрезки, расположенные на стыке между двумя боковыми гранями: M₁M, N₁N, O₁O и L₁L. Также выполняют роль высоты (поскольку лежат в параллельной основаниям плоскости). В призме боковые рёбра всегда равны между собой — это одно из важнейших свойств этого геометрического тела.
  4. Диагонали, которые, в свою очередь, подразделяются ещё на 3 категории. К ним относится 4 диагонали основания (MO, N₁L₁), 8 диагоналей боковых граней (ML₁, O₁L) и 4 диагонали призмы, начала и концы которых являются вершинами 2 разных оснований и боковых сторон (MO₁, N₁L).

Иногда в задачах по геометрии можно встретить понятие сечения. Определение будет звучать так: сечение — это все точки объёмного тела, принадлежащие секущей плоскости. Сечение бывает перпендикулярным (пересекает рёбра фигуры под углом 90 градусов). Для прямоугольной призмы также рассматривается диагональное сечение (максимальное количество сечений, которых можно построить — 2), проходящее через 2 ребра и диагонали основания.

Если же сечение нарисовано так, что секущая плоскость не параллельна ни основам, ни боковым граням, в результате получается усечённая призма.

Для нахождения приведённых призматических элементов используются различные отношения и формулы. Часть из них известна из курса планиметрии (например, для нахождения площади основания призмы достаточно вспомнить формулу площади квадрата).

Полная классификация призм

С этой классификацией важно разобраться, чтобы впоследствии не путаться в терминологии и использовать правильные формулы для вычисления, например, площади поверхности или объема фигур.

Для любой призмы произвольной формы можно выделить 4 признака, которые ее будут характеризовать. Перечислим их:

  • По количеству углов многоугольника в основании: треугольная, пятиугольная, восьмиугольная и так далее.
  • По типу многоугольника. Он может быть правильным или неправильным. Например, прямоугольный треугольник является неправильным, а равносторонний — правильным.
  • По типу выпуклости многоугольника. Он может быть вогнутым или выпуклым. Чаще всего встречаются выпуклые призмы.
  • По углам между основаниями и боковыми параллелограммами. Если все эти углы равны 90o, то говорят о прямой призме, если не все из них являются прямыми, то такую фигуру называют косоугольной.

Из всех этих пунктов хотелось бы остановиться подробнее на последнем. Прямая призма также называется прямоугольной. Связано это с тем, что для нее параллелограммы являются прямоугольниками в общем случае (в некоторых случаях они могут быть квадратами).

Для примера на рисунке выше изображена пятиугольная вогнутая прямоугольная, или прямая фигура.

ЕГЭ2022 (математика профиль) в ВК

Скоро вебинар
«ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ»
(Аналитическая геометрия). Жми подробнее.

Определение. Призма — это многогранник, все вершины которого расположены в двух параллельных плоскостях, причем в этих же двух плоскостях лежат две грани призмы, представляющие собой равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а все ребра, не лежащие в этих плоскостях, параллельны.

Две равные грани называются основаниями призмы (ABCDE, A1 B1C1D1E1).

Все боковые грани образуют боковую поверхность призмы.

Все боковые грани призмы являются параллелограммами.

Ребра, не лежащие в основаниях, называются боковыми ребрами призмы(AA1, BB1, CC1, DD1, EE1).

Диагональю призмы называется отрезок, концами которого служат две вершины призмы, не лежащие на одной ее грани (АD1).

Длина отрезка, соединяющего основания призмы и перпендикулярного одновременно обоим основаниям,называется высотой призмы.

Обозначение: ABCDE A1 B1C1D1E1. (Сначала в порядке обхода указывают вершины одного основания, а затем в том же порядке — вершины другого; концы каждого бокового ребра обозначают одинаковыми буквами, только вершины, лежащие в одном основании, обозначаются буквами без индекса, а в другом — с индексом)

Название призмы связывают с числом углов в фигуре, лежащей в ее основании, например, на рисунке 1 в основании лежит пятиугольник, поэтому призму называют пятиугольной призмой. Но т.к. у такой призмы 7 граней, то она семигранник (2 грани — основания призмы, 5 граней — параллелограммы, — ее боковые грани)

Среди прямых призм выделяется частный вид: правильные призмы.

Прямая призма называется правильной, если ее основания-правильные многоугольники.

У правильной призмы все боковые грани равные прямоугольники.

Частным случаем призмы является параллелепипед.

Параллелепипед

Параллелепипед — это четырехугольная призма, в основании которой лежит параллелограмм (наклонный параллелепипед).

Прямой параллелепипед — параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания.

Прямоугольный параллелепипед — прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник .

Свойства и теоремы:

Некоторые свойства параллелепипеда аналогичны известным свойствам параллелограмма.

Прямоугольный параллелепипед, имеющий равные измерения, называются кубом.

У куба все грани равные квадраты.

Квадрат диагонали, равен сумме квадратов трех его измерений

,

где d — диагональ квадрата;
a — сторона квадрата.

Представление о призме дают:

  • различные архитектурные сооружения;
  • детские игрушки;
  • упаковочные коробки;
  • дизайнерские предметы и т.д.

Площадь полной и боковой поверхности призмы

Площадь полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней

Площадь боковой поверхности называется сумма площадей ее боковых граней

Т.к. основания призмы — равные многоугольник, то их площади равны. Поэтому

где Sполн— площадь полной поверхности,

Sбок -площадь боковой поверхности,

Sосн — площадь основания

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

где Sбок -площадь боковой поверхности прямой призмы,

Pосн — периметр основания прямой призмы,

h — высота прямой призмы, равная боковому ребру.

Объем призмы

Объем призмы равен произведению площади основания на высоту.

V = S*h,

где V — объем призмы ,
S — площадь основания призмы,
h — высота призмы.

Классификация фигуры

Угол перпендикулярного сечения считается линейным при соответствующих рёбрах. Для его определения применяется транспортир. На практике встречается несколько схем построения фигуры, что зависит от вида призмы:

  1. Если основанием является параллелограмм, тогда чертится параллелепипед.
  2. Для прямой призмы характерно наличие боковых ребёр, перпендикулярных плоскости основания. Из этого утверждения вытекает следствие, что грани являются прямоугольными четырехугольниками. Другие фигуры считаются наклонными.
  3. Правильная призма — прямая с основанием в виде соответствующих многоугольников. Если боковыми гранями являются кубы, то грани представлены в виде полуправильных многогранников.
  4. Усеченная фигура имеет непараллельные основания.

Чтобы визуализировать четырёхмерный многогранник, используется диаграмма Шлегеля, развертка (объединение многоугольников малых размерностей, при этом грани разъединяются и разгибаются до их оказания в одной гиперплоскости). С помощью диаграммы можно рассмотреть треугольную, четырехугольную, пятиугольную, шестиугольную призму.

При вычислениях учитывается тип тела. Если фигура имеет сферическую симметрию, то вид тела не изменяется при его вращении в пространстве. Для двухсторонней симметрии характерна одинаковая длина правой и левой стороны относительно любой плоскости. Если симметрия нарушена, явление называется аритмией (ассиметрией). В машиностроении и компьютерных играх внешний вид детали отображается с помощью проекции — изометрия.

В геометрии встречаются следующие понятия:

  1. Скрученная призма. Представлена в виде невыпуклого многогранника, который получается в результате деления граней диагональю и вращения верхнего основания. Если последний элемент напоминает треугольник, то фигура называется многогранником Шёнхардта.
  2. Мозаика. Для неё характерна зеркальная симметрия.
  3. Связанные многогранники. Первой фигурой является треугольная призма, а последующие представлены в виде пирамиды, цилиндра, последующих однородных многогранников. Подобную теорию разработал Торольд Госсет в 1900 году.

Решение задач

На уроках геометрии ученики решают задачи на рассматриваемую тему разной сложности. Чтобы найти неизвестную, используются разные формулы. Задача № 1. Дана правильная 3-угольная призма со стороной основания 10 и высотой 15. Нужно найти S полной и боковой поверхности. Решение: так как фигура прямая, то ребро перпендикулярно основанию и соответствует высоте. Чтобы вычислить S, умножается периметр основания на высоту. S бок. пов.= Р осн h= 3х10х15=450 (кв.см).

Так как в основании находится правильный треугольник, его площадь находится путем умножения сторон на ½ и sin угла. Подставив данные, получаем 25 √3 (кв.см). S полной поверхности рассчитывается по формуле: S бок. пов.+2S осн.= 450+2х 25 √3=450+50√3.

Задача № 2. Дана наклонная четырёхугольная призма с боковым ребром в 12 см. В результате перпендикулярного сечения получается ромб со стороной в 5 см. Необходимо найти S бок. Решение: так как площадь боковой поверхности данной фигуры равняется произведению периметра сечения на ребро, в формулу подставляются данные.

По условию задачи, стороны ромба равняются 5 см. Периметр перпендикулярного сечения вычисляется по формуле: P=axb=5х4=20 (см). Чтобы вычислить S бок. пов., потребуется P умножить на длину бокового ребра. S бок. пов.=Pх12=240 (кв.см).

Экзаменационные примеры

Задача № 3. На чертеже находится прямая призма с основанием в виде равнобедренной трапеции. Основания последней фигуры равны 25 см и 9 см, а высота — 8 см. Необходимо вычислить двугранные углы при боковых рёбрах прямой призмы.

Решение: предварительно определяется понятие «двугранный угол». Для этого строится 2 плоскости α и β так, чтобы они пересекались по прямой СС1. Таким способом образуется двугранный угол с соответствующим ребром. Для определения его значения используется линейный угол.

Чтобы построить последнюю фигуру, понадобится поставить произвольную точку М на ребре. Через неё проводятся 2 перпендикуляра:

  • один в плоскости β (для его обозначения используется b);
  • второй в плоскости α (обозначается как а).

Угол, который образуется между прямыми, будет считаться двугранным. Чтобы найти линейный угол при СС1, учитывается перпендикулярность ребра к плоскости. Из последнего следует, что ребро перпендикулярно каждой прямой из плоскости. Угол между прямыми будет линейным.

Аналогично можно доказать, что оставшиеся углы являются линейными и образуются сторонами трапеции. Для нахождения их градусной меры используются данные задачи. Дополнительно проводятся высоты в трапеции. По условию одна равняется 8 см. Чтобы найти вторую, учитывается свойство перпендикулярности. Из него вытекает, что прямые перпендикулярны основанию (значение 9 см). При этом они образуют параллелограмм.

Так как трапеция равнобедренная, то (25−9)/2=8 (см). Учитывая, что треугольник является не только равнобедренным, но и прямоугольным, его стороны образуют углы в 45 градусов. Так как трапеция равнобедренная, то два её угла равны 45 градусов каждый. Третий и четвёртый вычисляются следующим образом: 180 град — 45 град = 135 град.

В более сложных заданиях, с которыми могут столкнуться ученики на ЕГЭ, необходимо найти уровень жидкости после её перелива в другой сосуд. Задача № 4. В сосуд в форме правильной призмы налили воду. Её уровень равен 18 см. Нужно вычислить высоту уровня воды, если её перелить в другой аналогичный сосуд, но со стороной основания в 3 раза больше первого.

Решение: Если за сторону основания правильной призмы взять a, тогда S= a ²√¾. Объём воды во второй призме будет равен: V =18 xS =18 x a²√¾=9a²√3/2. Если перелить воду в другой сосуд с основанием 3а, тогда S=9√3a²/2. Записывается равенство: 9√3a²/2xh=9a²√3/2. Высота равняется 2 см.

Статья в тему:  Что говорят о ближайшем будущем. Предсказания и пророчества о будущем россии. Старцы о России

Ссылка на основную публикацию
Статьи c упоминанием слов:

Adblock
detector