0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Числовые характеристики распределения вероятностей

Числовые характеристики распределения вероятностей. Математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение

п.1. Закон распределения дискретной случайной величины

Например:
Закон распределения случайной величины X = <0;1;2;3>, равной числу выпадения орлов при 3 бросках монеты, аналитически задаётся формулой: $ mathrm< p_i=P(x_i)=P_3(i)=frac><2^3>, i= <0;1;2;3>> $

В табличном виде:

п.2. Математическое ожидание

Свойства математического ожидания
1) Размерность математического ожидания равна размерности случайной величины.
2) Математическое ожидание может быть любым действительным числом: положительным, равным 0, отрицательным.
3) Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной:

M(C) = C

4) Математическое ожидание суммы независимых случайных величин равно сумме математических ожиданий:

M(X + Y) = M(X) + M(Y)

5) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий:

M(XY) = M(X) · M(Y)

6) Постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания:

M(CX) = C · M(X)

Например:
Пусть в результате экспериментов получено следующее распределение случайной величины X – числа появления белых шаров (см. пример 1, §40 данного справочника):

Число белых шаров, xi12345
pi(mathrm)(mathrm)(mathrm)(mathrm)(mathrm)(mathrm)
0,00740,06180,20600,34330,28610,0954

Найдём математическое ожидание для данного распределения:

M(X) = 0 · 0,0074 + 1 · 0,0618 + . + 5 · 0,0954 = 3,125

п.3. Дисперсия

Свойства дисперсии
1) Размерность дисперсии равна квадрату размерности случайной величины.
2) Дисперсия может быть любым неотрицательным действительным числом.
3) Дисперсия постоянной величины равна нулю:

D(C) = 0

4) Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий:

D(X + Y) = D(X) + D(Y)

5) Постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии:

D(CX) = C 2 · D(X)

Например:
Продолжим исследование и найдём дисперсию для распределения случайной величины X – числа появления белых шаров. Составим расчётную таблицу:

Получаем: D(X) = 10,9375 – 3,125 2 ≈ 1,1719.

п.4. Среднее квадратичное отклонение

Свойства СКО
1) Размерность СКО равна размерности случайной величины.
2) СКО может быть любым неотрицательным действительным числом.
3) СКО постоянной величины равно нулю:

σ(C) = 0

4) Постоянный множитель можно вынести за знак СКО:

σ(CX) = C · σ(X)

п.5. Правило трёх сигм

Большое количество случайных величин, измеряемых в экспериментах (например, в школьных лабораторных работах), имеет так называемое нормальное распределение.
В частности, при больших n, биномиальное распределение можно с хорошей точностью описывать как нормальное с M(X) = np и (mathrm>).
График плотности нормального распределения p(x) похож на колокол, с максимумом, соответствующим M(X) = Xcp – среднему значению измеряемой величины.

Величина СКО σ(X) характеризует степень отклонения X от среднего значения M(X).

п.6. Примеры

Пример 1. Найдите математическое ожидание, дисперсию и СКО при бросании кубика.

Закон распределения величины X – очки на верхней грани при бросании кубика и расчётная таблица:

Пример 2*. Найти математическое ожидание, дисперсию и СКО суммы очков при бросании двух кубиков.

Пример 3*. Докажите, что в опытах по схеме Бернулли математическое ожидание M(X)=np, а дисперсия D(X)=npq.

Проведем один опыт. В нём может быть только два исхода: «успех» и «неудача».
Составим расчётную таблицу:

Мат.ожидание первого опыта (mathrm).
Общее число успехов при n опытах складывается из числа успехов при каждом опыте, т.е. (mathrm). Все опыты между собой независимы.
По свойству мат.ожидания суммы независимых событий: begin mathrm< M(X)=M(X_1+X_2+. +X_n)=M(X_1)+M(X_2)+. +M(X_n)= >\ mathrm<=underbrace_>=np > end Дисперсия первого опыта (mathrm)
По свойству дисперсии суммы независимых событий: begin mathrm< D(X)=D(X_1+X_2+. +X_n)=D(X_1)+D(X_2)+. +D(X_n)= >\ mathrm<=underbrace_>=npq > end Что и требовалось доказать.

Пример 4. 100 канцелярских кнопок высыпали на стул. Вероятность, что кнопка упала острием вверх, равна 0,4. Найдите среднее количество, дисперсию и СКО для числа кнопок, упавших острием вверх. Найдите интервал оценки для количества этих кнопок по правилу «трёх сигм».

По условию n = 100, p = 0,4.
Для каждой кнопки может быть два исхода: упасть острием вверх или вниз.
Таким образом, это испытание Бернулли с биномиальным распределением случайной величины. begin mathrm< M(X)=np=100cdot 0,4=40 >\ mathrm\ mathrm=sqrt<24>approx 4,9> end Интервал оценки «три сигмы»: begin mathrm< M(X)-3sigma(X)lt Xlt M(X)+3sigma(X) >\ mathrm<40-3cdot 4,9lt Xlt 40+3cdot 4,9 >\ mathrm<25,3lt Xlt 54,7>\ mathrm <26leq Xleq 54>end Скорее всего (99,7%), от 26 до 54 кнопок будут острием вверх.
Ответ: (mathrm)

Пример 5*. В тесте 10 задач с 4 вариантами ответов. Ответы выбираются наугад. Постройте распределение величины X = «количество угаданных ответов», найдите числовые характеристики этого распределения.
Найдите интервал оценки для количества угаданных ответов по правилу «трёх сигм».
Какова вероятность угадать хотя бы 1 ответ? Хотя бы 5 ответов? Угадать все 10 ответов?

По условию: (mathrm).
Для каждого ответа может быть два исхода: «угадал»/ «не угадал».
Таким образом, это испытание Бернулли с биномиальным распределением случайной величины. $ mathrm< P_<10>(k)=C_<10>^kp^kq^<10-k>=C_<10>^kfrac<3^<10-k>><4^<10>>=left(frac34right)^<10>frac^k> <3^k>> $ Строим расчётную таблицу. Для (mathrm^k>) используем рекуррентную формулу (см. §36 данного справочника): $ mathrm< C_^k=fracC_n^ > $

(mathrm)(mathrm)(mathrm<3^k>)(mathrm)(mathrm)(mathrm)(mathrm)
110,05631350,00000000,0000000
11030,18771170,187711710,1877117
24590,28156760,563135141,1262703
3120270,25028230,750846992,2525406
4210810,14599800,5839920162,3359680
52522430,05839920,2919960251,4599800
62107290,01622200,0973320360,5839920
712021870,00308990,0216293490,1514053
84565610,00038620,0030899640,0247192
910196830,00002860,0002575810,0023174
101590490,00000100,00000951000,0000954
Σ12,58,125

Получаем: begin mathrm< M(X)=sum_^ <10>x_ip_i=2,5 >\ mathrm< D(X)=sum_^ <10>x_i^2p_i-M^2(X)=8,125=2,5^2=1,875 >\ mathrm< sigma(X)=sqrt=sqrt<1,875>approx 1,37 > end
Интервал оценки «три сигмы»: begin mathrm< M(X)-3sigma(X) lt Xlt M(X)+3sigma(X) >\ mathrm< 2,5-3cdot 1,37lt X lt 2,5+3cdot 1,37 >\ mathrm< -1,61lt Xlt 6,61 >\ mathrm < 0leq Xleq 6 >end Скорее всего (по расчетам – 99,65%), вы угадаете от 0 до 6 ответов.

Вероятность угадать хотя бы один ответ: begin mathrm< P(Xgeq 1)=1-p_0approx 1-0,0563=0,9437 >end Очень хорошие шансы – 94,37%.
Вероятность угадать хотя бы 5 ответов: begin mathrm< P(Xgeq 5)=1-left(sum_^<4> right)approx 1-(0,0563+0,1877+. +0,1460)=0,0781 >end Шансов мало – 7,81%. Т.е. «средний балл» при сдаче тестов мало достижим методом научного тыка.
Вероятность угадать все 10 ответов: p10≈ 0,000001. Шанс – один из миллиона.

Статья в тему:  Что говорила Ванга о третьей мировой войне? Сбывается ли пророчество? Предсказания ванги о третьей мировой войне
Ссылка на основную публикацию
Статьи c упоминанием слов:
Adblock
detector