0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Абсолютная погрешность приближения. Абсолютная погрешность приближенного числа — это разность между точным числом x и его приближенным значением a. Задачи для самостоятельного решения

Абсолютная погрешность приближения. Абсолютная погрешность приближенного числа — это разность между точным числом x и его приближенным значением a. Задачи для самостоятельного решения

Раздел 1. Приближенные числа и действия над ними

1.1 Виды погрешностей при приближенных вычислениях

Точное решение некоторых математических задач невозможно получить классическими методами, или это решение может быть получено в таком сложном виде, что неприемлемо для дальнейшего практического использования. Кроме того, точное решение задачи может потребовать очень большого количества (от нескольких десятков до многих миллиардов) действий. В таких случаях прибегают к приближенным и численным методам решения.

Появление компьютеров значительно расширило область применения этих методов. В настоящее время трудно себе представить инженера, не владеющего компьютером и методами приближённых вычислений.

Заметим, что любой компьютер способен запоминать большие, но конечные массивы чисел и производить над ними арифметические операции и сравнения с большой, но конечной скоростью. То есть машина способна выполнять очень большое, но конечное число операций. Поэтому при работе на компьютере можно использовать только те математические модели, которые описываются конечным набором чисел, и использовать только конечные последовательности арифметических действий.

Статья в тему:  Что сделать чтобы уважать себя. Дельные советы и рекомендации: как научиться себя любить, ценить и уважать! Что будет если не уважать себя

Математическими моделями различных явлений служат функции, производные, интегралы, дифференциальные уравнения и т.п. При работе на компьютере эти исходные модели следует заменить такими, которые описываются конечными наборами чисел с указанием конечной последовательности действий для их обработки. Для этого функцию заменяют таблицей, определённый интеграл — суммой и т.д. Кроме того, вычислительная машина обладает конечной памятью и может оперировать с числами конечной длины, поэтому промежуточные результаты округляются. В результате этого даже точный метод с конечным числом действий становится приближенным.

Таким образом, решение, полученное численным методом, является приближенным.

Причинами появления погрешностей являются:

  • Несоответствие математической модели изучаемому реальному явлению
  • Погрешность исходных данных.
  • Погрешность метода решения.
  • Погрешности округлений в арифметических и других действиях над числами.

Погрешность решения, вызванная первыми двумя причинами, называется неустранимой — она не зависит от математика.

Погрешность метода возникает потому, что численным методом, как правило, решается не исходная задача, а более простая. Кроме того, обычно численный метод основан на бесконечном процессе, который приходится обрывать на некотором шаге.

Большинство численных методов зависит от одного или от нескольких параметров. Выбор параметров метода позволяет регулировать погрешность метода.

Погрешность округлений не должна быть существенно больше погрешности метода. А погрешность метода целесообразно выбирать в 2-5 раз меньше неустранимой погрешности.

1.2 Приближенные числа

На практике часто приходится иметь дело с числами, которые выражают истинную величину не точно, а приблизительно. Такие числа называются приближенными .

Статья в тему:  Астронавт Тома Песке: «У нас был шанс увидеть то, что трудно осознать. © Государственная корпорация по космической деятельности «Роскосмос

Обозначим точное числовое значение некоторой величины a , приближённое числовое значение этой же величины a * . Тогда a » a * .

Заменяя точное число a приближенным числом a * , мы совершаем ошибку (погрешность).

Определение 1.1. Абсолютной погрешностью приближенного числа a * называется абсолютная величина разности между этим числом и его точным значением | a — a * | .

Поскольку точное значение величины обычно бывает неизвестно, то невозможно вычислить и абсолютную погрешность. Но можно указать положительное число D ( a * ) , удовлетворяющее неравенству:

Такое число D ( a * ) называется предельной абсолютной погрешностью приближённого числа a * .
&nbsp

Определение 1.2. Относительной погрешностью приближенного числа a * называется величина:

Любое число d ( a * ) , удовлетворяющее неравенству

называется предельной относительной погрешностью приближенного числа a * .

Если приближенное число a * не равно нулю и известны числа D ( a * ) и d ( a * ) , то они связаны соотношением

Заметим, что чисел, удовлетворяющих неравенствам (1.2) и (1.3) множество. Поэтому величина предельной погрешности является не вполне определённой.

На практике обычно берётся по возможности меньшее значение предельной погрешности. Для каждого приближенного числа обязательно определяется его предельная погрешность (абсолютная или относительная). Предельная абсолютная погрешность позволяет установить пределы, в которых лежит число a , т.е.

a * — D ( a * ) Ј a Ј a * + D ( a * )

Предельная относительная погрешность характеризует точность вычислений или измерений.

1.2.1. При решении задач вместо точного числа p = 3,14159265. мы используем его приближенное значение 3,14 и совершаем ошибку:

p — 3,14 > 0,00159265

1.2.2. При измерении длины пути получен результат 25,2 км с точностью до 2м . Вычислить предельную абсолютную и предельную относительную погрешности.

Статья в тему:  Чем вредно электромагнитное излучение. Влияние электромагнитных волн. Когда ЭМИ наносит вред здоровью

1.2.3. При измерении длины пути L = 10 км допущена ошибка D ( L ) = 10 м , а при измерении диаметра гайки d = 4см допущена погрешность D ( d ) = 1мм . Какое из этих двух измерений более точное?

Решение. Найдём предельные относительные погрешности чисел L и d .

По условию задач D ( L ) = 0,01 км ,

Поскольку d ( L ) d ( d ) то первое измерение является более точным.

1.3 Правила записи приближенных чисел

Для каждого приближенного числа обязательно указывается его погрешность. Запись вида

означает, что a * является приближенным значением числа a с абсолютной погрешностью D ( a * ) . Если же a * является приближенным значением числа a с относительной погрешностью d ( a * ), то пишут так:

1.4 Значащие цифры, верные и сомнительные цифры

На практике используются различные приёмы, позволяющие уже только по записи самого приближенного числа судить о его погрешности.

Запись приближенных чисел и абсолютных погрешностей подчиняется определённым правилам.

В десятичной записи числа значащей цифрой называется любая цифра не равная нулю. Нуль считается значащей цифрой, если он расположен между значащими цифрами или стоит правее всех значащих

Пример 1.3.1. Приближенное число 0,38 имеет 2 значащих цифры, 0,308 — три, 0,3080 — четыре, 0,00308 — три. Значащими цифрами являются подчёркнутые цифры.

Определение 1.3. Значащая цифра называется верной в широком смысле если абсолютная погрешность числа не превосходит одной единицы разряда, соответствующего этой цифре.
Значащая цифра называется верной в узком смысле если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего этой цифре.
В противном случае цифра считается сомнительной.

Статья в тему:  А ф адашев годы жизни. Адашев Алексей Федорович – краткая биография

Если приближенное число записывается без указания его абсолютной (предельной абсолютной) погрешности, то выписываются только его верные цифры. При этом верные нули на правом конце числа не отбрасывают. Числа 0,25 и 0,250 как приближенные различны. Если же мы пользуемся записями вида (1.4) или (1.5), то числа в правых частях этих равенств должны быть записаны с одинаковым количеством знаков после запятой.

Абсолютную или относительную погрешность принято записывать в виде числа, содержащего одну или две значащие цифры. При этом округление производится с избытком.

Может оказаться так, что у приближенного числа в его целой части значащих цифр больше, чем верных знаков. В этом случае используется запись в нормализованном виде a * = m ·10 n , при этом число m ≤ 1 должно содержать только верные цифры. В нормализованной записи число m называется мантисса, n —порядок числа

Заметим, что предельная абсолютная погрешность определяется числом десятичных знаков после запятой: чем меньше десятичных знаков после запятой, тем больше D ( a * ) .

Предельная относительная погрешность определяется числом значащих цифр: чем меньше значащих цифр, тем больше d ( a * ) .

1.5 Округление

Для записи приближенных чисел с верными цифрами применяется округление.

Точные числа также требуется округлить, если количество используемых разрядов ограничено.

Округлением (по дополнению) числа называется запись этого числа с меньшим количеством разрядов по следующему правилу: если первая отбрасываемая цифра больше или равна 5, то последнюю оставляемую цифру увеличивают на единицу. При округлении чисел возникает погрешность, которую также надо учитывать.

Статья в тему:  Цели которые ставит перед собой. Цель и её виды. Видео-пример правильной постановки цели

Погрешность округления по дополнению не превосходит по абсолютной величине половины единицы младшего оставляемого разряда. При вычислении результирующей погрешности, погрешность округления надо прибавлять к первоначальной абсолютной погрешности числа.

Пример 1.3.2. Число a * = 413287,51 имеет относительную погрешность d ( a * ) = 0,01 . Из (1.3) следует, что D ( a * ) = | a * | d ( a * ) .

Поэтому абсолютная погрешность данного числа равна 4133. Это означает, что четвёртый разряд числа a * уже может содержать ошибку. Следовательно, верными являются только первые две цифры числа. Тогда в нормализованном виде это число записывается так: a * = 0.41 ·10 6 .

Рассуждая аналогично, приближенное число b * = 0,0794 при d ( b * ) = 2% запишем в нормализованном виде b * = 0.8 ·10 — 1 .

Заметим, что здесь нам потребовалось округлить число.

При выполнении арифметических действий с приближенными числами возникают две взаимообратные задачи:

1. По известным погрешностям входных данных оценить погрешность результата.

2. Определить точность исходных данных, обеспечивающую заданную точность результата.

Кроме того, при работе с приближенными числами необходимо согласовывать точность различных входных данных, чтобы не тратить время на выписывание ненужных и неверных цифр.

В процессе вычислений также необходимо следить за точностью промежуточных результатов.

До начала выполнения арифметических действий применяется округление, чтобы все числа, участвующие в этих действиях, были записаны с одинаковым количеством десятичных знаков. Количество оставляемых десятичных знаков определяется наименьшим числом верных цифр у исходных данных.

При сложении и вычитании приближенных чисел, имеющих одинаковое число верных цифр после запятой, округление не производится.

Статья в тему:  Что означают густые брови у мужчины. Форма бровей диктует характер! Форма бровей «дугой» - артистичный характер

При сложении и вычитании приближенных чисел с различным числом верных цифр после запятой результат округляется по наименьшему числу верных цифр после запятой у исходных данных.

При умножении и делении приближенных чисел с различным числом верных цифр производится округление результата по минимальному числу верных цифр у исходных данных.

1.6 Погрешности арифметических операций

Пусть a * и b * — приближенные числа, тогда их сумма c * = a * + b * также является приближенным числом.

Если обозначить абсолютные погрешности слагаемых D ( a * ) и D ( b * ) , соответственно, то абсолютная погрешность числа c * определяется формулой

D ( c * ) = D ( a * ) + D ( b * ).

Следовательно, при сложении двух приближенных чисел их предельные абсолютные погрешности складывают.

Это правило справедливо для любого конечного числа слагаемых. Кроме того, формула (1.6) справедлива и для разности двух чисел.

Действительно, разность двух чисел можно представить в виде суммы

a * — b * = a * + ( — b * ),

а абсолютная погрешность числа ( — b * ) равна абсолютной погрешности числа b * .

Замечание При вычитании двух чисел одного знака относительная погрешность разности может оказаться значительно больше относительной погрешности каждого слагаемого. Особенно большая потеря точности происходит при вычитании близких между собой чисел.

Пример 1.4.1. Пусть требуется найти разность 61,32 — 61,31 .

Абсолютные погрешности данных чисел, соответственно, равны D 1 = 0,01 и D 2 = 0,01. Найдём теперь относительные погрешности этих чисел:

Ссылка на основную публикацию
Статьи c упоминанием слов:
Adblock
detector