0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Практическая работа по теории вероятностей и математической статистике по теме: «Вычисление вероятностей по формуле Бернулли»

Методические указания и теоретические сведения к практической работе

Цель: 1) Расширение и углубление знаний о вероятности события при независимых испытаниях.

2) Формирование умений решать задачи на нахождение вероятности с использованием формулы Бернулли

3) Формированию ОК 2,3,4

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А одна и та же и равна p , то вероятность того, что событие А появится в этих n испытаниях m раз, выражается формулой Бернулли

P n (m) = C n k ·p m ·q n-m , где q = 1-p.

Статья в тему:  Атакуют русские подводники. Атакуют русские подводники Фамилия подводника 1

Число m называется наивероятнейшим числом наступлений события А в n испытаниях и равно целой части числа (n+1)p , а при целом (n+1)p наибольшее значение достигается при двух числах: m 1 =(n+1)p-1 и m 2 =(n+1)p.
Если р≠0 и р≠1, то число m можно определить из двойного неравенства

np-q ≤ m ≤ np+p.

Задача 1 .
В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули подряд 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Какова вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется два белых?
Решение . Вероятность извлечения белого шара p=20/30=2/3 можно считать одной и той же во всех испытаниях; q=1-p=1/3. Используя формулу Бернулли, получаем

P 4 (2) = C 4 2 ·p 2 ·q 2 =(12/2)·(2/3) 2 ·(1/3) 2 = 8/27

Задача 2. Игральную кость бросили 10 раз. Какова вероятность, что число 3 выпадет два раза?

Решение. При одном броске вероятность выпадения тройки равна р = 1/6, а вероятность не выпадения равна 1-р = 5/6.

Каждый бросок — независимое испытание. Применим ф-лу Бернулли.

Р n (m)=С n m p m (1-p) n-m , где n=10, m=2

Р= С 10 2 ·(1/6) 2 ·(5/6) 8 = 10!/ (8!*2!)* 5 8 /6 10 = 45*5 8 /6 10 ≈0,29

Задача 3.
Вероятность появления события А равна 0,4. Какова вероятность того, что при 10 испытаниях событие А появится не более трех раз?
Решение . Здесь p=0,4, q=0,6. Имеем:

P 10 (0) = q 10 , P 10 (1) = 10pq 9 , P 10 (2) = 45p 2 q 8 , P 10 (3) = 120p 3 q 7 .

Статья в тему:  Что будет со страховкой в году. В россии стартовали обязательные продажи электронных полисов осаго. Электронные полисы – теперь обязательны

Вероятность того, что событие А появится не больше трех раз, равна

Р = P 10 (0) + P 10 (1) + P 10 (2) + P 10 (3) = q 10 +10pq 9 +45p 2 q 8 +120p 3 q 7 ≈ 0,38 .

Задача 4 .
Вероятность попадания стрелком в цель равна 0,7. Сделано 25 выстрелов. Определить наивероятнейшее число попаданий в цель.
Решение. Здесь n=25, p=0,7, q=0,3. Следовательно,

25·0,7-0,3 ≤ m ≤ 25·0,7 + 0,7, т.е. 17,2 ≤ m ≤ 18,2.

Так как m — целое число, то m =18.

Содержание практической работы

Задача 1. Монету бросают 10 раз. Найдите вероятность, что герб выпадет:

2) не менее 4 раз.

1) Вероятность выпадения герба при одном броске равна 1/2, вероятность выпадения решки также равна 1/2.

Испытания Бернулли.

Р = С 10 4 *(1/2) 4 *(1-1/2) 10-4 = 10!/(4!*6!) * (1/2) 10 = 10*9*8*7/(2*3*4) /2 10 = 210/1024 =

2) Пусть Событие А = «Герб выпадет не менее 4-х раз».

Проще найти вероятность противоположного события ( не А) : «Герб выпадет менее 4-х раз». Т.е. 3 или 2 или 1 раз или ни разу. Обозначим Р(k) — вероятность того, что при 10 бросках герб выпадет k раз.

Р(3) = С 10 3 *(1/2) 10 = 10*9*8/6 /1024 = 120/1024

Р(2) = С 10 2 *(1/2) 10 = 10*9/2 /1024 = 45/1024

Р(1) = 10*(1/2) 10 = 10/1024

Р(0) = 1*(1/2) 10 = 1/1024

Р(не А) = Р(0)+Р(1)+Р(2)+Р(3) = (120+45+10+1)/1024 = 176/1024= 0,171875

Р(А) = 1 — Р(не А) = 1 — 0,171875 = 0,828125

Задача 2. Игральная кость бросается 6 раз. Какова вероятность того, что шестерка выпадет 4 раза?

Статья в тему:  Александр введенский биография. Александр Иванович Введенский. Биография

Вероятность выпадения шестерки равна 1/6, а не выпадения 5/6. Имеем испытания Бернулли.

Р= С 6 4* (1/4) 2 (5/6) 6-2 = 6!/(4!*2!)* 1/16 * (5/6) 4 = 15/16* 625/1296≈ 0,452

Задача 3. Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0.11. Пользуясь формулой Бернулли найти вероятность того, что из пяти наудачу взятых деталей будут четыре стандартных.

Решение. Вероятность изготовить стандартную деталь равна 1-0,11=0,89

По формуле Бернулли

Р= С 5 4 *0,89 4 *0,11 1 = 5!/(4!*1!) *0,89 4 *0,11= 5*0,6274*0,11=0,3451

Задача 4 . Произведено 46 бросков одной игральной кости, каково наивероятнейшее количество выпадений шестерки?

Решение. Событие А — выпадение шестерки при одном испытании. Количество испытанийn=46.

При одном испытании вероятность наступления события А равна р=1/6, q=1-p = 5/6 — вероятность не наступления события А (выпадение не 6).

Число m называется наивероятнейшим числом наступления события А в серии из n независимых испытаний Бернулли (с вероятностью наступления события А, равной р в одном испытании) и определяется соотношением

np-q ≤ m ≤ np+p

46*1/6 -5/6 ≤ m ≤ 46*1/6 +1/6

Задача 5 . Игральная кость бросается 21раз. Каково наиболее вероятное количество испытаний, в которых выпадет менее 4-х очков?

Решение. Событие А — выпадение 1, 2 или 3 при одном испытании. Количество испытанийn=21.

При одном испытании вероятность наступления события А равна 3/6=1/2.

р=1/2, q=1-p = 1/2 — вероятность не наступления события А (выпадение 4, 5 или 6).

Число m называется наивероятнейшим числом наступления события А в серии из nнезависимых испытаний Бернулли (с вероятностью наступления события А, равной рв одном испытании) и определяется соотношением

Статья в тему:  Аспекты солнца в натальной карте. Нептун в квадрате, оппозиции, соединении с Солнцем в астрологии

np-q ≤ m ≤ np+p

21*0,5 -0,5 ≤ m ≤ 21*0,5 +0,5

Задача 6. Игральная кость бросается 16 раз. Найти наивероятнейшее число появления числа очков кратного трем.

Решение. Событие А — выпадение 3 или 6 при одном испытании. Количество испытаний 16.

При одном испытании вероятность наступления события А равна р=2/6=1/3, а вероятность не наступления равна q=1 -1/3 =2/3

np-q ≤ m ≤ np+p m-наивероятнейшее число наступления события А.

16*1/3 — 2/3 ≤ m ≤ 16*1/3 + 1/3

Задача 7. Вероятность изготовления изделия высшего сорта равна 0,87. Чему равно наиболее вероятное число изделий высшего сорта в партии из 100

Решение. Событие А — изготовлено изделие высшего сорта, вероятность наступления события А р=0,87, вероятность не наступления события А q=1-0,87=0,13.

n=100 — количество испытаний Бернулли (количество изготовленных изделий).

m — наивероятнейшее число изделий высшего сорта

100*0,87 — 0,13 ≤ m ≤ 100*0,87 + 0,87

87-0,13 ≤ m ≤ 87 +0,87

Задача 8. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Найти вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется 2 белых.

Решение. Событие А – достали белый шар. Тогда вероятности
, .
По формуле Бернулли требуемая вероятность равна
.

Задача 9. Среди деталей, обрабатываемых рабочим, бывает в среднем 4% нестандартных. Найти вероятность того, что среди взятых на испытание 30 деталей две будут нестандартными.

Статья в тему:  1984 год события в ссср. Год Деревянной Крысы

Решение. Здесь опыт заключается в проверке каждой из 30 деталей на качество. Событие А — «появление нестандартной детали», его вероятность , тогда . Отсюда по формуле Бернулли находим
.

Задача 10. При каждом отдельном выстреле из орудия вероятность поражения цели равна 0,9. Найти вероятность того, что из 20 выстрелов число удачных будет не менее 16 и не более 19.

Решение. Вычисляем по формуле Бернулли:

Задача 11. Что вероятнее: выиграть у равносильного противника три партии из четырех или пять партий из восьми (ничьи в отдельных партиях исключены)?

Решение. Пусть p — вероятность выигрыша, а q = 1 — p — вероятность проигрыша одной партии, тогда по формуле Бернулли

есть вероятность ровно m выигрышей в турнире из n партий. По условию задачи p = 1/2. Для такого значения p требуется сравнить вероятности P 4 (3) и P 8 (5). Имеем:
P 4 (3)

C 8 5 (1/2) 5 (1/2) 3

Следовательно, P 4 (3) > P 8 (5).

Итак, у равносильного противника легче выиграть три партии из четырех, чем пять партий из восьми.

Ссылка на основную публикацию
Статьи c упоминанием слов:
Adblock
detector