0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Алгебраические и арифметический корень таблица. Область определения функции — вся числовая прямая. Основные свойства корней

Алгебраические и арифметический корень таблица. Область определения функции — вся числовая прямая. Основные свойства корней

Ключевые слова: квадратный корень из числа, функция корень квадратный.

Квадратный корень из числа a — это такое число, квадрат которого (результат умножения на себя) равен a, то есть решение уравнения x 2 = a относительно переменной x

Квадратный корень как элементарная функция

Квадратным корнем называют также функцию $ sqrt$ вещественной переменной x, которая каждому $xge 0$ ставит в соответствие арифметическое значение корня.

Эта функция является частным случаем степенной функции $x^$ с $a = frac<1><2>$.
Эта функция является гладкой при x > 0 , в нуле же она непрерывна справа, но не дифференцируема.

Свойства функции $y = sqrt$

  • Область определения — луч $[о;+infty)$.
    Это следует из, того что выражение $ sqrt$ определено лишь при $x ge 0$.
  • Функция $y = sqrt$ ни четна, ни нечетна.
  • Функция $y = sqrt$ возрастает на луче $[о;+infty)$.

Свойства функции $y = root 3 of $

  • Область определения функции $y = root 3 of $ — вся числовая прямая
  • Функция $y = root 3 of $ нечетна, так как $root 3 of <-x>= — root 3 of $.
  • Функция $y = root 3 of $ возрастает на всей числовой прямой.

Функция $y = root n of $.

  • При четном n функция $y = root n of $ обладает теми же свойствами, что и функция $y = sqrt$ и график ее напоминает график функции $y = sqrt$.
  • При нечетном n функция $y = root n of $ обладает теми же свойствами. что и функция $y = root 3 of $, и график ее напоминает график функции $y = root 3 of $.

Степенная функция с положительным дробным показателем.

Степенная функция с положительным дробным показателем это функция, заданная формулой y = x r , где r — положительная несократимая дробь.

Свойства функции y = x r :

  • Область определения — луч $[о;+infty)$.
  • Функция общего вида, т.е. ни четная, ни нечетная.
  • Функция y = x r возрастает на $[о;+infty)$.

На пример график функции y = x 5/2 , заключен между графиками функций y = x 2 и y = x 3 , заданных на промежутке
$[о;+infty)$.
Подобный вид имеет любой график функции вида y = x r , где r > 1, а график любой степенной функции y = x r , где 0 2/3 .

Степенная функция с отрицательным дробным показателем.

Степенная функция с отрицательным дробным показателем это функция, заданная формулой y = x — r ,
где r — положительная несократимая дробь.

Свойства функции y = x — r :

  • Облать определения — промежуток $(о;+infty)$.
  • Функция общего вида, т.е. ни четная, ни нечетная.
  • Функция y = x — r убывает на $(о;+infty)$.
  • График функции y = x — rподобен ветке гиперболы, построенной на положительных значениях аргумента функции.

Квадратный корень как элементарная функция.

Квадратный корень – это элементарная функция и частный случай степенной функции при . Арифметический квадратный корень является гладким при , а в нуле он непрерывен справа, но не дифференцируется (отличительное свойтво корней).

Как функция комплексный переменный корень — двузначная функция, у которой листы сходятся в нуле.

Правило для определения области определения функции

Чтобы найти область определения функции нужно проверить формулу функции по двум законам школьного курса математики:

  1. на ноль делить нельзя (другими словами, знаменатели дробей с « x » не должны быть равны нулю);
  2. подкоренные выражения корней чётной степени должны быть больше или равны нулю.

При нахождении области определения функции необходимо всегда задавать себе два вопроса:

  1. есть ли в функции дроби со знаменателем, в котором есть « x »?
  2. есть ли корни четной
    степени с « x »?

Если на оба вопроса вы получаете отрицательный ответ, то область определения функции — это все действительные числа.

Рассмотрим пример поиска области определения функции с корнем и дробью.

№ 242 (3) Мерзляк 8 класс

Найдите область определения функции:

f(x) = √ x + 3 +

1
x 2 − 9

Идем по алгоритму. Задаём себе первый вопрос, есть ли в функции дробь с « x » в знаменателе. Ответ: да, есть.

В функции « f(x) = √ x + 3 +

1
x 2 − 9

» есть дробь «

1
x 2 − 9

», где « x » расположен в знаменателе. Запишем условие, что знаменатель « x 2 − 9 » не может быть равен нулю.

Решаем квадратное уравнение через формулу квадратного уравнения.

x1;2 =

−b ± √ b 2 − 4ac
2a

x1;2 =

−0 ± √ 0 2 − 4 · 1 · (−9)
2 · 1

x1;2

−0 ± √ 0 − (−36)
2

x1;2

± √ 36
2

x1;2

± 6
2
x1 ≠ 3

x2 ≠ −3

Запомним полученный результат. Задаем себе второй вопрос. Проверяем, есть ли в формуле функции
« f(x) = √ x + 3 +

1
x 2 − 9

» корень четной степени. В формуле есть квадратный корень « √ x + 3 ». Подкоренное выражение « x + 3 » должно быть больше или равно нулю.

Решим линейное неравенство.

Объединим полученные ответы по обоим вопросам:

  • знаменатель дроби «
    1
    x 2 − 9

    » не равен нулю ;

  • подкоренное выражение « √ x + 3 » должно быть больше или равно нулю.
    x ≠ −3
    x ≠ 3
    x ≥ −3

Объединим все полученные результаты на числовых осях. Сравнивая полученные множества, выберем только те промежутки, которые удовлетворяют обоим условиям.

x ≠ −3
x ≠ 3
x ≥ −3

Выделим красным заштрихованные промежутки, которые совпадают на обеих числовых осях. Обратим внимание, что числа « −3 » и « 3 » отмечены «пустыми» точками и не входят в итоговое решение.

Получаем два числовых
промежутка « −3 » и « x > 3 », которые являются областью определения функции
« f(x) = √ x + 3 +

1
x 2 − 9

». Запишем окончательный ответ.

Примеры определения области определения функции

№ 101 Колягин (Алимов) 8 класс

Найти область определения функции:

Для поиска области определения функций задаем себе первый вопрос. Есть ли знаменатель, в котором содержится « x »?

Ответ: в формуле функции
« y = 6 √ x + 5 √ 1 + x » нет дробей.

Задаем второй вопрос. Есть ли в функции корни четной степени?

Ответ: в функции есть корень шестой степени: « 6 √ x ». Степень корня — число « 6 ». Число « 6 » — чётное, поэтому подкоренное выражение корня « 6 √ x » должно быть больше или равно нулю.

В формуле функции « y = 6 √ x + 5 √ 1 + x » также есть корень пятой степени
« 5 √ 1 + x ». Степень корня « 5 » — нечётное число, значит, никаких ограничений на подкоренное выражение « 1 + x » не накладывается.

Получается, что единственное ограничение области определения функции
« y = 6 √ x + 5 √ 1 + x » — это ограничение подкоренного выражения « 6 √ x ».

Нарисуем область определения функции на числовой оси и запишем ответ.

№ 242 (4) Мерзляк 8 класс

Найдите область определения функции:

f(x) =

√ x − 4
√ x + 2

+

4x − 3
x 2 − 7x + 6

Есть ли в функции знаменатель, в котором содержится « x »? В заданной функции подобных знаменателей два. Выделим знаменатели с « x » красным цветом.

f(x) =

√ x − 4
√ x + 2

+

4x − 3
x 2 − 7x + 6

Запишем условие, что каждый из знаменателей не должен быть равен нулю.

√ x + 2 ≠ 0
x 2 − 7x + 6 ≠ 0

Обозначим их номерами « 1 » и « 2 » и решим каждое уравнение отдельно.

√ x + 2 ≠ 0 (1)
x 2 − 7x + 6 ≠ 0 (2)

Решаем первое уравнение.

Если значение квадратного корня
« √ x + 2 ≠ 0 » не должно быть равно нулю, значит, подкоренное выражение
« x + 2 ≠ 0 » также не должно быть равно нулю.

Теперь решим уравнение под номером « 2 », используя формулу квадратного уравнения.

x1;2 =

−b ± √ b 2 − 4ac
2a

x 2 − 7x + 6 ≠ 0 (2)

x1;2 =

−(−7) ± √ (−7) 2 − 4 · 1 · 6
2 · 1

x1;2 =

7 ± √ 49 − 24
2

x1;2 =

7 ± √ 25
2

Запишем все полученные ответы в порядке возрастания вместе под знаком системы, чтобы их не забыть.

x ≠ −2
x ≠ 1
x ≠ 6

Знаменатели с « x » мы проверили. Настала очередь проверить формулу функции на наличие корней четной степени .

В формуле функции
« f(x) =

√ x − 4
√ x + 2

+

4x − 3
x 2 − 7x + 6

»

есть два корня « √ x − 4 » и « √ x + 2 ». Их подкоренные выражения должны быть больше или равны нулю.

x − 4 ≥ 0
x + 2 ≥ 0
x − 4 ≥ 0
x + 2 ≥ 0
x ≥ 4
x ≥ −2

Нарисуем полученные решения на числовой оси. Выберем заштрихованный промежуток, который есть на обеих числовых осях.

Выпишем результат решения системы неравенств.

Объединим в таблицу ниже полученные ответы по обеим проверкам:

  1. проверка, что знаменатели
    дробей с « x » не равны нулю;
  2. проверка, что подкоренные выражения корней четной степени должно быть больше или равны нулю.

Результат проверки, что знаменатели дробей с « x » не равны нулю

Результат проверки, что подкоренные выражения должно быть больше или равны нулю

Нарисуем полученные результаты проверок на числовых осях, чтобы определить, какая заштрихованная область удовлетворяет всем полученным условиям.

Арифметический квадратный корень

Когда ты разберешься в этой теме, тебе станет намного легче решать иррациональные уравнения и неравенства.

А пока что давай попробуем разобраться, что это за понятие «корень» и с чем его едят

Для этого рассмотрим примеры, с которыми ты уже сталкивался на уроках (ну, или тебе с этим только предстоит столкнуться).

К примеру, перед нами уравнение ( <^<2>>=4). Какое решение у данного уравнения? Какие числа можно возвести в квадрат и получить при этом ( 4)?

Вспомнив таблицу умножения, ты легко дашь ответ: ( 2) и ( -2) ( ведь при перемножении двух отрицательных чисел получается число положительное)!

Для упрощения, математики ввели специальное понятие квадратного корня и присвоили ему специальный символ ( sqrt< >).

Дадим определение арифметическому квадратному корню.

Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа ( a) называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен ( a)
( left( sqrt=x, <^<2>>=a; x,age 0 right))

А почему же число ( a) должно быть обязательно неотрицательным?

Например, чему равен ( sqrt<-9>). Так-так, попробуем подобрать. Может, три?

Проверим: ( <<3>^<2>>=9), а не ( -9). Может, ( left( -3 right))? Опять же, проверяем: ( <^<2>>=9). Ну что же, не подбирается? Это и следовало ожидать – потому что нет таких чисел, которые при возведении в квадрат дают отрицательное число!

Это надо запомнить: число или выражение под знаком корня должно быть неотрицательным!

Однако самые внимательные уже наверняка заметили, что в определении сказано, что решение квадратного корня из «числа ( a) называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен ( a)».

Кто-то из вас скажет, что в самом начале мы разбирали пример ( <^<2>>=4), подбирали числа, которые можно возвести в квадрат и получить при этом ( 4), ответ было ( 2) и ( -2), а тут говорится про какое-то «неотрицательное число»!

Такое замечание вполне уместно. Здесь необходимо просто разграничить понятия квадратных уравнений и арифметического квадратного корня из числа.

Квадратное уравнение или квадратный корень?

К примеру, ( <^<2>>=4) не равносильно выражению ( x=sqrt<4>).

Из ( <^<2>>=4) следует, что ( left| x right|=sqrt<4>), то есть ( x=pm sqrt<4>=pm 2) или ( <_<1>>=2; <_<2>>=-2).

А из ( x=sqrt<4>) следует, что ( x=2).

Конечно, это очень путает, но это необходимо запомнить, что знаки являются результатом решения уравнения, так как при решении уравнения мы должны записать все иксы, которые при подстановке в исходное уравнение дадут верный результат.

В наше квадратное уравнение подходит как ( 2), так и ( -2).

Однако, если просто извлекать квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один неотрицательный результат.

А теперь попробуй решить такое уравнение ( <^<2>>=3).

Уже все не так просто и гладко, правда? Попробуй перебрать числа, может, что-то и выгорит?

Начнем с самого начала – с нуля: ( <<0>^<2>>=0) – не подходит.

Двигаемся дальше ( text=1; <<1>^<2>>=1) – меньше трех, тоже отметаем.

А что если ( x=2); ( <<2>^<2>>=4) – тоже не подходит, т.к. это больше трех.

С отрицательными числами получится такая же история.

И что же теперь делать? Неужели перебор нам ничего не дал?

Совсем нет, теперь мы точно знаем, что ответом будет некоторое число между ( 1) и ( 2), а также между ( -2) и ( -1).

Кроме того, очевидно, что решения не будут целыми числами. Более того, они не являются рациональными. И что дальше?

Давай построим график функции ( y=<^<2>>) и отметим на нем решения. (Прочти по ссылке как использовать график функции для решения уравнений)

Давай попробуем обмануть систему и получить ответ с помощью калькулятора! Извлечем корень из ( 3), делов-то! Ой-ой-ой, выходит, что ( sqrt<3>=1,732050807568…).

Такое число никогда не кончается.

Как же такое запомнить, ведь на экзамене калькулятора не будет!? Все очень просто, это и не надо запоминать, необходимо помнить (или уметь быстро прикинуть) приблизительное значение. ( sqrt<3>) и ( -sqrt<3>) уже сами по себе ответы.

Такие числа называются иррациональными, именно для упрощения записи таких чисел и было введено понятие квадратного корня.

Рассмотрим еще один пример для закрепления.

Разберем такую задачку: тебе необходимо пересечь по диагонали квадратное поле со стороной ( displaystyle 1) км, сколько км тебе предстоит пройти?

Самое очевидное здесь рассмотреть отдельно треугольник и воспользоваться теоремой Пифагора: ( <^<2>>=<^<2>>+<^<2>>). Таким образом, ( <^<2>>=1+1=2).

Так чему же здесь равно искомое расстояние?

Очевидно, что расстояние не может быть отрицательным, получаем, что ( c=sqrt<2>). Корень из двух приблизительно равен ( 1,41), но, как мы заметили раньше, ( sqrt<2>) -уже является полноценным ответом.

Чтобы решение примеров с корнями не вызывало проблем, необходимо их видеть и узнавать. Для этого необходимо знать, по меньшей мере, квадраты чисел от ( 1) до ( 20), а также уметь их распознать.

К примеру, необходимо знать, что ( 15) в квадрате равно ( 225), а также, наоборот, что ( 225) – это ( 15) в квадрате.

Вот тебе полная таблица квадратов чисел. Сверху строка — основание степени, слева в столбик показатель степени, на пересечение искомое значение степени. Запомнить нужно только то, что выделено зеленым.

Уловил, что такое квадратный корень? Тогда порешай несколько примеров.

Примеры для самостоятельного решения

  1. ( sqrt<0>=?)
  2. ( sqrt<36>=?)
  3. ( sqrt<324>=?)
  4. ( sqrt<256>=?)
  5. ( sqrt<0,81>=?)
  6. ( sqrt<0,01>=?)
  7. ( sqrt<0,0144>=?)

Ответы:

Алгебраические и арифметический корень таблица. Область определения функции — вся числовая прямая. Основные свойства корней

Цель: рассмотреть функцию у = √х, ее свойства и график.
Планируемые результаты: знать основные свойства и график функции у = √х.
Тип уроков: уроки–практикумы.

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Работа по теме уроков

Пусть длина стороны квадрата равна а (см), а его площадь — S (см 2 ). Величины S и а связаны соотношением S = а 2 (где а ≠ 0). Это равенство означает, что каждому значению стороны квадрата а соответствует единственное значение его площади S. Из равенства S = а 2 найдем а = √S. Такое соотношение означает, что для каждого значения площади квадрата S можно указать единственное значение его стороны а. Формулами S = а 2 (где а ≥ 0) и а = √S задаются функциональные зависимости между одними и теми же переменными а и S. Однако в первом случае независимой переменной (аргументом) является сторона квадрата а, зависимой переменной (значением функции) — его площадь S. Во втором случае, наоборот, независимой переменной (аргументом) является площадь квадрата S, зависимой переменной (значением функции) — его сторона а. Заметим, что функции S = а 2 (где а ≥ 0) и а = √S являются взаимообратными.

Если в предыдущем примере в каждом случае обозначить, как принято, независимую переменную буквой л:, а зависимую переменную — буквой у, то получим взаимообратные функции у = x 2 (где х ≥ 0) и у = √х. Сравним свойства и графики этих функций.

Сначала составим таблицу значений функции у = √х и построим ее график.

Приведем основные свойства функции у = √х.

  1. Область определения функции — значения х ≥ 0.
  2. Область изменения (значений) функции — значения у ≥ 0.
  3. График функции пересекает оси координат в начале системы координат.
  4. Значения функции у ≥ 0 при х ≥ 0, и график расположен в первой координатной четверти.
  5. Функция монотонно возрастает.

Дадим определение монотонной функции. Пусть числа х1 и x2 принадлежат области определения функции и значения функции в этих точках у1 и у2 соответственно. Пусть (для определенности) x2 > х1. Если при этом для всех таких значений х1 и x2:

  1. у2 > у1 (т. е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции), то функция возрастает (график идет вверх);
  2. у2 2 , ее свойства и график были изучены в 7 классе. Напомним основные свойства этой функции при х ≥ 0.

  1. Область определения функции — значения х ≥ 0.
  2. Область изменения (значений) функции — значения у ≥ 0.
  3. График функции пересекает оси координат в начале системы координат.
  4. Значения функции у ≥ 0 при х ≥ 0, и график расположен в первой координатной четверти.
  5. Функция монотонно возрастает.

Заметим, что графики функций у = √х и у = x 2 (где х ≥ 0) симметричны относительно прямой у = х (биссектрисы первого и третьего координатных углов). Доказательства этого факта, а также свойства взаимообратных функций мы в 8 классе приводить не будем.

Для линейной функции у = 3х – 2 найдем обратную, построим графики этих функций и убедимся, что они симметричны относительной прямой у = х.

Переменные у и х связаны соотношением у = 3х – 2, что позволяет для любого значения х вычислить соответствующее значение у. Теперь из того же соотношения у = 3х – 2 выразим х: 3х = у + 2 и х = у/3 + 2/3. Теперь можно по любому значению у найти соответствующее ему значение у, т. е. х является функцией у. Так как принято независимую переменную обозначать буквой х, а зависимую — буквой у, то в выражении х = у/3 + 2/3 поменяем х на у, а у на х. Получаем функцию у = х/3 + 2/3. Эта функция является обратной для данной функции у = 3х – 2.

Видно, что эти графики симметричны относительной прямой у = х. На основании рисунка приведем еще некоторые свойства взаимообратных функций.

  1. Монотонность таких функций одинакова. Из рисунка видно, что обе функции возрастают.
  2. Если график данной функции пересекает ось абсцисс в точке х = а и ось ординат — в точке у = b, то график обратной функции, наоборот, пересекает ось абсцисс в точке х = b и ось ординат — в точке у = а. Из рисунка видно, что точки пересечения графика функции у = 3х – 2 с осями координат х = 2/3 и у = –2. Точки пересечения графика обратной функции у = х/3 + 2/3 с осями координат, наоборот, х = –2 и у = 2/3.

III. Задания на уроках

№ 352 (а); 355; 358 (а, б); 360; 362 (в); 363 (а, в, г); 365 (а, в).

IV. Контрольные вопросы

  1. Перечислите основные свойства функции у = √х и нарисуйте ее график.
  2. Перечислите основные свойства функции у = x 2 (где х ≥ 0) и нарисуйте ее график.
  3. Приведите основные свойства взаимообратных функций. Что можно сказать о графиках таких функций?

V. Творческие задания

VI. Подведение итогов уроков

Домашнее задание: № 352 (б); 356; 358 (в, г); 361; 362 (б); 363 (б, д, е); 365 (б, г).

Вы смотрели: Поурочное планирование по алгебре для 8 класса. УМК Макарычев (Просвещение). Глава 2. КВАДРАТНЫЕ КОРНИ (19 ч). § 5. Арифметический квадратный корень (5 ч). Уроки 29, 30. Функция у = √x и ее график.

Статья в тему:  17 сентября день рождения. Любовь и секс. Число рождения для мужчины
Ссылка на основную публикацию
Статьи c упоминанием слов:

Adblock
detector