0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия

п.1. Понятие арифметической прогрессии

Например:
1. Последовательность 2, 5, 8, 11, 14, . является арифметической прогрессией с разностью d = 3.

2. Последовательность 12, 9, 6, 3, 0, –3, –6, . является арифметической прогрессией с разностью d = –3.

п.2. Формула n-го члена арифметической прогрессии

По определению арифметической прогрессии мы получаем рекуррентную формулу для n-го члена: an = an-1 + d. Из неё можно вывести аналитическую формулу:

Например:
Найдём a7, если известно, что a1 = 5, d = 3.
По формуле n-го члена получаем: a7 = a1 + 6d = 5 + 6 · 3 = 23

п.3. Свойства арифметической прогрессии

Свойство 1. Линейность

Арифметическая прогрессия является линейной функцией f(n) = kn + b:

с угловым коэффициентом k = d и свободным членом b = a1 – d.

Свойство 2. Признак арифметической прогрессии

Для того чтобы числовая последовательность была арифметической прогрессией необходимо и достаточно, чтобы каждый её член, начиная со второго, был средним арифметическим предыдущего и последующего членов: $ mathrm < left— text<арифметическая прогрессия> Leftrightarrow a_n=frac+a_><2>, ninmathbb, n geq 2 > $ Следствие: каждый член прогрессии является средним арифметическим двух равноудалённых от него членов: $ mathrm< a_n=frac+a_><2>, ninmathbb, ninmathbb, n geq k+1 > $

Например:
Найдём a9, если известно, что a7 = 10, a11 = 15
По следствию из признака арифметической прогрессии: (mathrm><2>=frac<10+15><2>=12,5>)

Статья в тему:  Благотворительные миссии матери Терезы. Биография матери Терезы

Свойство 3. Равенство сумм индексов

Если n> – арифметическая прогрессия, то из равенства сумм индексов следует равенство сумм членов: $ mathrm < m+k=p+q Rightarrow a_m+a_k=a_p+a_q >$ Следствие: сумма членов, равноудалённых от концов прогрессии, является постоянной величиной: $ mathrm< a_1 + a_n=a_2+a_=a_3+a_=. > $

Например:
Найдём a6, если известно, что a2 = 5, a4 = 10, a8 = 20
По равенству сумм индексов a2 + a8 = a4 + a6
Откуда a6 = a2 + a8 – a4 = 5 + 20 – 10 = 15

п.4. Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Например:
Найдём сумму первых 100 натуральных чисел: 1 + 2 +. + 100
В этом случае a1 = 1, a100 = 100, n = 100
(mathrm< S_<100>=frac<1+100><2>cdot 100=5050>)

п.5. Примеры

Пример 1. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, если:
а) a7 = 10, a15 = 42
Найдем разность данных членов: a15 – a7 = (a1 + 14d) – (a1 + 6d) = 8d
Получаем разность прогрессии: 42 – 10 = 8d ⇒ d = 32 : 8 = 4
7-й член: a7 = a1 + 6d = a1 + 6 · 4 = 10 ⇒ a1 = 10 – 24 = –14
Ответ: a1 = –14, d = 4

б) a10 = 95, S10 = 500
Сумма прогрессии: (mathrm=frac><2>cdot 10Rightarrow 500=(a_1+95)cdot 5Rightarrow a_1+95=100Rightarrow a_1=5>)
10-й член: (mathrm=a_1+9dRightarrow95=5+9dRightarrow 9d=90Rightarrow d=10>)
Ответ: a1 = 5, d = 10

Пример 2. Найдите сумму первых 100 нечётных натуральных чисел.
Чему равно последнее слагаемое этой суммы?
Ищем сумму (mathrm_<100 text<слагаемых>>>)
По условию a1 = 1, d = 2, n = 100. Получаем:
(mathrm=frac<2a_1+d(n-1)><2>n=frac<2cdot 1+2cdot 99><2>cdot 100=10000>)
Формула n-го члена данной прогрессии: (mathrm)
100-й член (mathrm=2cdot 100-1=199>)
Ответ: S100 = 10000, a100 = 199

Статья в тему:  Алиса в зазеркалье английский клуб перевод. Двуязычная книга Льюиса Кэрролла - Алиса в Зазеркалье - Двуязычные книги (rus-eng) - Ск - Азбука международных знакомств

Пример 3*. Сколько членов арифметической прогрессии 10, 16, 22, . находится между числами 110 и 345?
По условию a1 = 10, d = 16 – 10 = 6
Формула n-го члена данной прогрессии an = a1 + d(n – 1) = dn + (a1 – d) = 6n + 4
Заданные числа могут быть членами данной прогрессии или находиться по «соседству» с ними. Подставим их в формулу для n-го члена: begin mathrm< 6k+4=110Rightarrow 6k=106Rightarrow k=17frac23Rightarrow 17lt klt 18 >\ mathrm < 6m+4=345Rightarrow 6m=341Rightarrow m=56frac56Rightarrow 56lt mlt 57 >end Ближайший сосед справа к 100 – это a18 = 6 · 18 + 4 = 112, k = 18
Ближайший сосед слева к 345 – это a56 = 6 · 56 + 4 = 340, m = 56

Количество членов прогрессии в заданном интервале:

n = m – k + 1 = 56 – 18 + 1 = 39

Пример 4. Одиннадцатый член арифметической прогрессии равен 7.
Найдите сумму её первых 21 членов.
По свойству суммы индексов: a11 + a11 = a1 + a21
Откуда a1 + a21 = 2a11 = 14
Искомая сумма: (mathrm=frac><2>cdot 21=frac<14><2>cdot 21=147>)
Ответ: 147

Пример 5. Величины углов выпуклого пятиугольника образуют арифметическую прогрессию. Найдите третий член этой прогрессии.
Сумма углов выпуклого пятиугольника S5 = 180° · (5 – 2) = 540°
Если углы образуют арифметическую прогрессию, то: $ mathrm< S_5=frac<2>cdot 5=540^circRightarrow a_1+a_5=216^circ > $ По свойству суммы индексов: a3 + a3 = a1 + a5
Откуда: (mathrm<2>=108^circ>)
Ответ: 108°

Пример 6. При каких значениях x числа x 2 – 11, 2x 2 + 29, x 4 – 139 в заданной последовательности являются членами арифметической прогрессии?
Для последовательных членов получаем уравнение:

Статья в тему:  Анализ на мир таинственный духов. Библейские мотивы в лирике Ф. И. Тютчева

a2 – a1 = a3 – a2
(2x 2 + 29) – (x 2 – 11) = (x 4 – 139) – (2x 2 + 29)
x 4 – 3x 2 – 208 = 0 ⇒ (x 2 + 13)(x 2 – 16) = 0 ⇒ x 2 = 16 ⇒ x = ±4

Ответ: x = ±4

Пример 7. Сумма первых трёх членов убывающей арифметической прогрессии равна 9, а сумма их квадратов равна 99. Найдите седьмой член прогрессии.
По условию d 3a2 = 9 ⇒ a_2 = 3

Тогда a1 = a2 – d = 3 – d, a3 = a2 + d = 3 + d. Подставляем во второе уравнение:

(3 – d) 2 + 3 2 + (3 + d) 2 = 99
9 – 6d + d 2 + 9 + 9 + 6d + d 2 = 99
2d 2 = 72 ⇒ d 2 = 36 ⇒ d = ±6

Выбираем отрицательное значение d = –6
1-й член прогрессии: a1 = a2 – d = 3 + 6 = 9
7-й член прогрессии: a7 = a1 + 6d = 9 + 6(–6) = –27
Ответ: x = –27

Ссылка на основную публикацию
Статьи c упоминанием слов:
Adblock
detector