Предел последовательности; основные теоремы и свойства

Более подробно см. страницу Определение числовой последовательности >>>.
Далее мы будем считать, что элементами последовательности являются действительные числа.

Последовательность называется ограниченной, если существует такое число M , что для всех действительных n .
Верхней гранью последовательности называют наименьшее из чисел, ограничивающее последовательность сверху. То есть это такое число s , для которого для всех n и для любого , найдется такой элемент последовательности , превосходящий s′ : .
Нижней гранью последовательности называют наибольшее из чисел, ограничивающее последовательность снизу. То есть это такое число i , для которого для всех n и для любого , найдется такой элемент последовательности , меньший i′ : .

Верхнюю грань также называют точной верхней границей, а нижнюю грань – точной нижней границей. Понятия верхней и нижней граней справедливы не только к последовательностям, но и к любым множествам действительных чисел.