0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Чему равно а плюс в

Чему равно а плюс в. Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного выражения очень часто применяются на практике, так что их все желательно выучить наизусть. До этого момента нам будет служить верой и правдой , которую мы рекомендуем распечатать и все время держать перед глазами:

Первые четыре формулы из составленной таблицы формул сокращенного умножения позволяют возводить в квадрат и куб сумму или разность двух выражений. Пятая предназначена для краткого умножения разности и суммы двух выражений. А шестая и седьмая формулы используются для умножения суммы двух выражений a и b на их неполный квадрат разности (так называют выражение вида a 2 −a·b+b 2 ) и разности двух выражений a и b на неполный квадрат их суммы (a 2 +a·b+b 2 ) соответственно.

Стоит отдельно заметить, что каждое равенство в таблице представляет собой тождество . Этим объясняется, почему формулы сокращенного умножения еще называют тождествами сокращенного умножения.

При решении примеров, особенно в которых имеет место разложение многочлена на множители , ФСУ часто используют в виде с переставленными местами левыми и правыми частями:

Статья в тему:  Беседа,,Кем являются родители для ребёнка". Насколько в вас развит материнский инстинкт. Кто настоящая мать ребенка

Три последних тождества в таблице имеют свои названия. Формула a 2 −b 2 =(a−b)·(a+b) называется формулой разности квадратов , a 3 +b 3 =(a+b)·(a 2 −a·b+b 2 ) — формулой суммы кубов , а a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2 ) — формулой разности кубов . Обратите внимание, что соответствующим формулам с переставленными частями из предыдущей таблицы фсу мы никак не назвали.

Доказательство формул сокращенного умножения

Напомним, что разность квадратов двух чисел a и b равна произведению их разности и их суммы: a 2 — b 2 = (a — b) * (a + b).

Иначе говоря, произведение суммы a и b на их разность равна разности их квадратов: (a — b) * (a + b) = a 2 — b 2 .

Важно знать, что разность квадратов не равна квадрату разности: a 2 — b 2 ≠ (a — b) 2 .

Докажем, что a 2 — b 2 = (a — b) * (a + b).

    Используя искусственный метод, прибавим и отнимем одно и тоже a * b.

a 2 — b 2 = a 2 — b 2 + ab — ab

  1. Сгруппируем иначе: a 2 — b 2 + a * b — a * b = a 2 — a * b + a * b — b 2
  2. Продолжим группировать: a 2 — a * b — b 2 +a * b = (a 2 — a * b) + (a * b — b 2 )
  3. Вынесем общие множители за скобки:

    (a 2 — a * b) + (a * b — b 2 ) = a *(a — b) + b *(a — b)

  1. Вынесем за скобки (a — b). a * (a — b) + b * (a — b) = (a — b) * (a + b)
  2. Результат доказательства: a 2 — b 2 = (a — b) * (a + b)
  3. Для того, чтобы доказать в обратную сторону: (a — b) * (a + b) = a 2 — b 2 , нужно раскрыть скобки: (a — b) * (a + b) = a * a + a * b — b * a — b * b = a 2 — b 2 .
Статья в тему:  Что можно иметь на огэ. Российским школьникам напомнили о том, что можно и нельзя приносить с собой на огэ

Остальные ФСУ можно доказать аналогичным методом.

Как читать формулы сокращенного умножения?

Дадим соответствующие формулировки для каждой формулы, но сначала разберемся с принципом чтения формул. Удобнее всего делать это на примере. Возьмем самую первую формулу квадрата суммы двух чисел.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

Говорят: квадрат суммы двух выражений a и b равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения выражений и квадрата второго выражения.

Все остальные формулы читаются аналогично. Для квадрата разности a — b 2 = a 2 — 2 a b + b 2 запишем:

квадрат разности двух выражений a и b равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражения.

Прочитаем формулу a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 . Куб суммы двух выражений a и b равен сумме кубов этих выражений, утроенного произведения квадрата первого выражения на второе и утроенного произведения квадрата второго выражения на первое выражение.

Переходим к чтению формулы для разности кубов a — b 3 = a 3 — 3 a 2 b + 3 a b 2 — b 3 . Куб разности двух выражений a и b равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение квадрата второго выражения на первое выражение, минус куб второго выражения.

Пятая формула a 2 — b 2 = a — b a + b (разность квадратов) читается так: разность квадратов двух выражений равна произведению разности и суммы двух выражений.

Выражения типа a 2 + a b + b 2 и a 2 — a b + b 2 для удобства называют соответственно неполным квадратом суммы и неполным квадратом разности.

С учетом этого, формулы суммы и разности кубов прочитаются так:

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Статья в тему:  Биография бендера. Кто такой Степан Бандера. Штрихи к портрету. Националистические настроения в Галиции

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Куб суммы и куб разности

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения:

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения:

Формулы куба суммы и куба разности выводятся аналогичным образом, как квадрат суммы и квадрат разности: раскрытием скобок при перемножении членов друг на друга.

Если квадрат суммы и квадрат разности запомнить весьма легко, то возникает вопрос «как запомнить кубы?»

Посмотри внимательно на две описываемые формулы в сравнении с возведением аналогичных членов в квадрат:

Какую ты видишь закономерность?

  • При возведении в квадрат у нас есть квадрат первого числа и квадрат второго. При возведении в куб – есть куб одного числа и куб другого числа.
  • При возведении в квадрат, у нас есть удвоенное произведение чисел (числа в 1 степени, что на одну степень меньше чем та, в которую возводим выражение). При возведении в куб – утроенное произведение, при котором одно из чисел возводится в квадрат (что так же на 1 степень меньше, чем степень, в которую возводим выражение).
  • При возведении в квадрат знак в скобках в раскрытом выражении отражается при прибавлении (или вычитании) удвоенного произведения – если в скобках сложение, то прибавляем, если вычитание – отнимаем. При возведении в куб правило такое: если у нас куб суммы, то все знаки «+», а если куб разности, то знаки чередуются: «( +)» — «( —)» — «( +)» — «( —)».
Статья в тему:  Битва под курском. Белгородско-Харьковская стратегическая наступательная операция «Румянцев

Всё перечисленное, кроме зависимости степеней при умножении членов, изображено на рисунке.

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2

Пример: (x + 3y) 2 = x 2 + 2 ·x·3y + (3y) 2 = x 2 + 6xy + 9y 2

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a-b) 2 = a 2 -2ab+b 2

Пример: (4x –y) 2 = (4x) 2 -2·4x·y + y 2 = 16x 2 — 8xy + y 2

Разность квадратов двух выражений равна произведению разности самих выражений на их сумму.

Пример: 9x 2 – 16y 2 = (3x) 2 – (4y) 2 = (3x – 4y)(3x + 4y)

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

(a+b) 3 = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3

Пример: (x + 2y) 3 = x 3 + 3·x 2 ·2y + 3·x·(2y) 2 + (2n) 3 = x 3 + 6x 2 y + 12xy 2 + 8y 3

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

(a-b) 3 = a 3 — 3a 2 b+3ab 2 -b 3

Пример: (2x – y) 3 = (2x) 3 -3·(2x) 2 ·y + 3·2x·y 2 – y 3 = 8x 3 – 12x 2 y + 6xy 2 – y 3

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы самих выражений на неполный квадрат их разности.

a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 –ab+b 2 )

Пример: 125 + 8y 3 = 5 3 + (2y) 3 = (5 + 2y)(5 2 — 5·2y + (2y) 2 ) = (5 + 2y)(25 – 10y + 4y 2 )

Статья в тему:  Чем закончилась русско японская война 1904 1905. Сильные и слабые стороны противников. Карта военных действий русско-японской войны

Разность кубов двух выражений равна произведению разности самих выражений на неполный квадрат их суммы.

a 3 — b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2 )

Пример: 64x 3 – 8 = (4x) 3 – 2 3 = (4x – 2)((4x) 2 + 4x·2 + 2 2 ) = (4x – 2)(16x 2 + 8x + 4)

Формулы для квадратов

  • (a pm b)^2= a^2 pm 2ab + b^2
  • a^2 — b^2 = (a + b)(a — b)
  • (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc

Формулы для кубов

  • (a pm b)^3= a^3 pm 3a^2b +3ab^2 pm b^3
  • a^3 — b^3 = (a pm b)(a^2mp ab+b^2)
  • (a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3a^2b+3a^2c+3ab^2+3ac^2+3b^2c+3bc^2+6abc

Формулы для четвертой степени

  • (a pm b)^4= a^4 pm 4a^3b +6a^2b^2pm 4ab^3+b^4
  • a^4 — b^4 = (a-b)(a+b)(a^2 +b^2) (выводится из a^2 — b^2)

В заданиях ЕГЭ по математике применяются формулы сокращенного умножения.

Применение формул сокращенного умножения. Таблица

Таблица 3. Применение формул сокращенного умножения (нажмите для увеличения)

Пример использования формул на практике (устный счет).

Задача: Найти площадь квадрата со стороной а = 71 см.

Решение: S = a 2 . Используя формулу квадрата суммы, имеем

71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2*70*1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041 см 2

Ответ: 5041 см 2

Конец конспекта урока по алгебре «Формулы сокращенного умножения». Выберите следующие действия:

Вернуться в Алгебра 7 класс Перейти к следующему конспекту Проверить знания по Алгебре

Ссылка на основную публикацию
Статьи c упоминанием слов:
Adblock
detector